Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Τι βλέπεις

Η σκιασμένη ζώνη πάει από το $f(\alpha)$ ως το $f(\beta)$. Το θεώρημα λέει ότι κάθε οριζόντια ευθεία μέσα της τέμνει τη γραφική παράσταση κάπου ανάμεσα στα $\alpha$ και $\beta$, και η ανάλυση δίνει τις λύσεις της $f(x) = \eta$ καθώς τη μετακινείς. Το Bolzano είναι η ειδική περίπτωση $\eta = 0$ — και έτσι γίνεται η απόδειξη του σχολικού βιβλίου: εφαρμόζουμε Bolzano στην $g(x) = f(x) - \eta$.

Για ευθείες έξω από τη ζώνη το θεώρημα δεν λέει τίποτα: η εξίσωση μπορεί να έχει λύση ή όχι. Με την ασυνεχή συνάρτηση η ζώνη υπάρχει, αλλά κάποια ύψη μέσα της δεν «πιάνονται» ποτέ — η γραφική παράσταση πηδά πάνω από αυτά, και η εφαρμογή το επισημαίνει.

Δοκίμασε

1. 1Πάτα «Σάρωση» και δες το $\eta$ να ανεβαίνει από το κάτω μέρος της εικόνας ως το πάνω: μέσα στη ζώνη η πράσινη ευθεία δεν χάνει ποτέ τη γραφική παράσταση.
2. 2Σταμάτησε την ευθεία στο $\eta = 1$: τη συναντά τρεις φορές, στα $x = -\sqrt{3}$, $0$ και $\sqrt{3}$. Το θεώρημα υποσχόταν μία.
3. 3Κατέβασε το $\eta$ στο $0$, κάτω από το $f(\alpha)$: το θεώρημα δεν εφαρμόζεται πια, κι όμως η ευθεία τέμνει ακόμα δύο φορές τη γραφική παράσταση.
4. 4Διάλεξε «Ασυνεχής» και βάλε $\eta = 0$: βρίσκεται ανάμεσα στα $f(\alpha)$ και $f(\beta)$, όμως κανένα $x$ δεν δίνει $f(x) = 0$.

Συνηθισμένα λάθη

• Τιμές έξω από το $[f(\alpha), f(\beta)]$: το θεώρημα δεν λέει τίποτα γι’ αυτές. Η $f$ μπορεί να πηγαίνει ψηλότερα, αλλά αυτό το δίνει το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
• «Μοναδική λύση»: το θεώρημα δίνει τουλάχιστον μία.
• Χωρίς συνέχεια: η $\dfrac{1}{x}$ στο $[-1, 1]$ έχει $f(-1) = -1$ και $f(1) = 1$, αλλά δεν παίρνει ποτέ την τιμή $0$.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: η απόδειξη είναι εξεταστέα. Η $g(x) = f(x) - \eta$ είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ με $g(\alpha)\,g(\beta) < 0$, άρα από το Bolzano υπάρχει $x_0$ με $g(x_0) = 0$, δηλαδή $f(x_0) = \eta$.
• Μαζί με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής δίνει το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα: $f([\alpha, \beta]) = [m, M]$.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §1.8 Συνέχεια συνάρτησης