Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής

Τι βλέπεις

Η ανάλυση δίνει τα $M$ και $m$, πού τα παίρνει η $f$, και το σύνολο τιμών $f([\alpha, \beta]) = [m, M]$, που φαίνεται ως πράσινη μπάρα στον άξονα $y'y$. Το μέγιστο και το ελάχιστο μπορεί να βρίσκονται στο εσωτερικό, σε θέση τοπικού ακροτάτου, ή σε άκρο — σύρε τα $\alpha$, $\beta$ και δες τα να μετακινούνται από το ένα στο άλλο.

Διάλεξε «Ανοιχτό» και τα άκρα φεύγουν. Αν η μεγαλύτερη τιμή ήταν σε άκρο, δεν «πιάνεται» πια: οι τιμές την πλησιάζουν όσο θέλουμε χωρίς να τη φτάνουν, οπότε μέγιστη τιμή δεν υπάρχει και το σύνολο τιμών γίνεται ημιανοιχτό. Η συνέχεια μόνη της δεν αρκεί· το διάστημα πρέπει να είναι κλειστό.

Δοκίμασε

1. 1Με την $f(x) = 2\eta\mu x + \sigma\upsilon\nu 2x$ στο $[-2, 3]$, η μέγιστη τιμή $1{,}5$ πιάνεται δύο φορές, στα $x = \dfrac{\pi}{6}$ και $x = \dfrac{5\pi}{6}$: η μέγιστη τιμή είναι μία, οι θέσεις της όχι απαραίτητα.
2. 2Μετακίνησε το διάστημα στο $[-1, 0]$, όπου η $f$ είναι γνησίως αύξουσα: το ελάχιστο είναι στο $\alpha$ και το μέγιστο στο $\beta$.
3. 3Μετά διάλεξε «Ανοιχτό $(\alpha, \beta)$»: τα ακρότατα ήταν στα άκρα, οπότε κανένα δεν πιάνεται πια.
4. 4Πήγαινε στην $x^3 - 3x + 1$ στο $[-1{,}5, 2]$: η μέγιστη τιμή $3$ πιάνεται και στο τοπικό μέγιστο $x = -1$ και στο άκρο $x = 2$.

Συνηθισμένα λάθη

• Έλεγχος μόνο των κρίσιμων σημείων. Το μέγιστο ή το ελάχιστο μπορεί να είναι σε άκρο — σύγκρινε πάντα και με τα $f(\alpha)$, $f(\beta)$.
• Εφαρμογή σε ανοιχτό διάστημα ή με ασυνέχεια: η $f(x) = x$ στο $(0, 1)$ δεν έχει μέγιστη τιμή, ούτε η $\dfrac{1}{x}$ στο $(0, 1]$.
• Σύγχυση της μέγιστης τιμής με τη θέση της: η τιμή $M$ είναι μία, τα $x$ με $f(x) = M$ όχι απαραίτητα.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: ζητείται η διατύπωση· συνηθισμένο Σωστό–Λάθος είναι αν ισχύει σε ανοιχτό διάστημα (δεν ισχύει).
• Θέματα Γ–Δ: μαζί με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών δίνει το σύνολο τιμών $f([\alpha, \beta]) = [m, M]$ — από εκεί βγαίνουν ανισότητες και το πλήθος των λύσεων της $f(x) = k$.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §1.8 Συνέχεια συνάρτησης