Θεώρημα Fermat

Τι βλέπεις

Η κίτρινη ευθεία είναι η εφαπτομένη στο $P$, και η ανάλυση δίνει την $f'(x_0)$ και αν το $P$ είναι τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο ή τίποτα από τα δύο. Στην $f(x) = x^3 - 3x$ η εφαπτομένη γίνεται οριζόντια στα $x = -1$ και $x = 1$, ακριβώς εκεί που είναι το μέγιστο και το ελάχιστο: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$.

Το θεώρημα ισχύει μόνο προς μία κατεύθυνση. Στην $f(x) = x^3$ η εφαπτομένη είναι οριζόντια στο $0$, αλλά η γραφική παράσταση συνεχίζει να ανεβαίνει: $f'(0) = 0$ χωρίς ακρότατο. Και στην $f(x) = |x^2 - 1|$ υπάρχουν ελάχιστα στα $x = \pm 1$ όπου η παράγωγος δεν υπάρχει — εκεί φαίνονται οι πλευρικές παράγωγοι. Κρίσιμα σημεία είναι και τα δύο είδη: όπου $f' = 0$ και όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται.

Δοκίμασε

1. 1Στην $x^3 - 3x$ σύρε το $P$ στο $x = -1$ και μετά στο $x = 1$: $f'(x_0) = 0$ και η ανάλυση ονομάζει το ακρότατο.
2. 2Πήγαινε στην $x^3$ και σύρε το $P$ στο $0$: οριζόντια εφαπτομένη, χωρίς ακρότατο.
3. 3Πήγαινε στην $|x^2 - 1|$: στο $x = 1$ υπάρχει ελάχιστο αλλά όχι εφαπτομένη — οι πλευρικές παράγωγοι είναι $-2$ και $2$.
4. 4Πάτα «Σάρωση» και δες την εφαπτομένη να στρίβει καθώς κινείται το $P$: γίνεται οριζόντια μόνο στα κρίσιμα σημεία.

Συνηθισμένα λάθη

• Το αντίστροφο: $f'(x_0) = 0$ δεν σημαίνει ακρότατο ($x^3$ στο $0$). Χρειάζεται αλλαγή προσήμου της $f'$.
• Αναζήτηση ακροτάτων μόνο όπου $f' = 0$: και τα σημεία όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται είναι υποψήφια ($|x|$ στο $0$), όπως και τα άκρα κλειστού διαστήματος.
• Εφαρμογή σε άκρο: στο $\alpha$ ή στο $\beta$ ένα μέγιστο μπορεί να έχει $f' \ne 0$ — το σημείο πρέπει να είναι εσωτερικό.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: η απόδειξη είναι εξεταστέα. Για τοπικό μέγιστο στο $x_0$, το πηλίκο $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ είναι $\ge 0$ αριστερά του $x_0$ και $\le 0$ δεξιά, άρα η $f'(x_0)$, που υπάρχει, είναι ταυτόχρονα $\ge 0$ και $\le 0$.
• Θέματα Β–Δ: αν δίνεται $f(x) \ge f(x_0)$ για κάθε $x$ με $x_0$ εσωτερικό σημείο, η $f$ έχει ελάχιστο στο $x_0$ και το Fermat δίνει αμέσως $f'(x_0) = 0$ — ο κλασικός τρόπος να βρεθεί μια παράμετρος.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης