Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.)

Τι βλέπεις

Η κίτρινη χορδή $AB$ έχει κλίση $\lambda = \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha}$, τον μέσο ρυθμό μεταβολής. Το θεώρημα υπόσχεται $\xi$ στο $(\alpha, \beta)$ όπου η εφαπτομένη έχει την ίδια κλίση· οι πράσινες ευθείες είναι αυτές οι εφαπτομένες, και η ανάλυση λύνει την $f'(\xi) = \lambda$. Στην $f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ με το αρχικό διάστημα $[-2, 1{,}5]$ είναι $\lambda = \dfrac{1}{12}$ και υπάρχουν δύο τέτοια σημεία, $\xi = \pm\sqrt{\dfrac{13}{12}}$.

Οι προϋποθέσεις είναι του Rolle χωρίς τις ίσες τιμές. Η $\sqrt{x}$ στο $[0, 4]$ τις ικανοποιεί — είναι συνεχής στο $0$ και χρειάζεται παραγωγισιμότητα μόνο στο ανοιχτό διάστημα — άρα υπάρχει $\xi$: από $\dfrac{1}{2\sqrt{\xi}} = \dfrac{1}{2}$ βγαίνει $\xi = 1$. Η $|x|$ στο $[-1, 2]$ αποτυγχάνει: έχει «γωνία» στο $0$, και καμία εφαπτομένη δεν έχει την κλίση της χορδής, $\dfrac{1}{3}$.

Δοκίμασε

1. 1Σύρε το $P$ μέχρι η εφαπτομένη να «ευθυγραμμιστεί» με τη χορδή, και σύγκρινε την $f'(x_P)$ της ανάλυσης με το $\lambda$.
2. 2Μετακίνησε τα $A$ και $B$: αλλάζει η κλίση της χορδής και μαζί τα $\xi$ — αλλά σε λεία καμπύλη υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα.
3. 3Διάλεξε $\sqrt{x}$ στο $[0, 4]$: η εφαπτομένη στο $0$ είναι κατακόρυφη, κι όμως υπάρχει $\xi = 1$, γιατί η παραγωγισιμότητα χρειάζεται μόνο στο $(0, 4)$.
4. 4Διάλεξε $|x|$: η χορδή από το $x = -1$ ως το $x = 2$ έχει κλίση $\dfrac{1}{3}$, ενώ κάθε εφαπτομένη έχει κλίση $\pm 1$ — δεν υπάρχει $\xi$.

Συνηθισμένα λάθη

• Παραγωγισιμότητα στα άκρα: δεν χρειάζεται· στα άκρα αρκεί η συνέχεια.
• Χωρίς συνέχεια στο κλειστό διάστημα: η $f(x) = x$ για $x \in [0, 1)$ με $f(1) = 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, 1)$, όμως $\lambda = 0$ ενώ $f' = 1$ παντού.
• Το $\xi$ στο μέσο $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$: το θεώρημα εγγυάται ότι υπάρχει, όχι πού βρίσκεται.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: η διατύπωση και η γεωμετρική ερμηνεία (εφαπτομένη παράλληλη στη χορδή $AB$).
• Οι συνέπειές του (§2.6) έχουν εξεταστέες αποδείξεις: αν $f' = 0$ σε διάστημα, η $f$ είναι σταθερή· αν $f' > 0$, η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Στα Θέματα Γ–Δ χρησιμοποιείται για ανισότητες: γράφεις $\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(\xi)$ και φράζεις την $f'$.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού
• §2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής