Θεώρημα Rolle

Τι βλέπεις

Η καμπύλη είναι η $f(x) = \dfrac{1}{2}(4 - x^2)(1 + kx)$ στο $[-2, 2]$. Ο πρώτος παράγοντας κάνει τα άκρα εύκολα: $f(-2) = f(2) = 0$ για κάθε $k$, οπότε η χορδή $AB$ είναι οριζόντια. Το θεώρημα υπόσχεται $\xi$ ανάμεσα με $f'(\xi) = 0$· η ανάλυση τα δίνει όλα, και οι πράσινες ευθείες είναι οι οριζόντιες εφαπτομένες.

Κάθε προϋπόθεση μετράει, και η δεύτερη συνάρτηση δείχνει τη συχνότερη αποτυχία. Η $f(x) = 2 - |x|$ έχει ίσες τιμές στα $\pm 2$ και είναι συνεχής, αλλά έχει «γωνία» στο $0$: δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί, και κανένα σημείο δεν έχει οριζόντια εφαπτομένη. Το Rolle είναι η ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής όπου η χορδή είναι οριζόντια.

Δοκίμασε

1. 1Σύρε το $k$ από το $0$ ως το $1$: το μοναδικό $\xi = 0$ μετακινείται δεξιά, και μόλις το $k$ ξεπεράσει το $0{,}5$ εμφανίζεται δεύτερο $\xi$ αριστερά.
2. 2Σύρε το $P$ πάνω στην καμπύλη: η εφαπτομένη είναι οριζόντια ακριβώς στα $\xi$ της ανάλυσης.
3. 3Σύρε το $A$ ή το $B$ ώστε $f(\alpha) \ne f(\beta)$: το θεώρημα δεν εφαρμόζεται πια, αν και οριζόντια εφαπτομένη μπορεί ακόμα να υπάρχει.
4. 4Πήγαινε στην $2 - |x|$: ίσες τιμές, συνεχής, αλλά η «γωνία» στο $0$ χαλάει την παραγωγισιμότητα — δεν υπάρχει $\xi$.

Συνηθισμένα λάθη

• Έλεγχος του $f(\alpha) = f(\beta)$ χωρίς την παραγωγισιμότητα στο $(\alpha, \beta)$: μία «γωνία» αρκεί για να χαθεί το $\xi$.
• Περισσότερες απαιτήσεις από όσες χρειάζονται: η παραγωγισιμότητα ζητείται μόνο στο ανοιχτό διάστημα. Η $\sqrt{1 - x^2}$ στο $[-1, 1]$ ικανοποιεί το θεώρημα, αν και δεν παραγωγίζεται στα $\pm 1$.
• «Ακριβώς ένα $\xi$»: το θεώρημα δίνει τουλάχιστον ένα.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: η διατύπωση και η γεωμετρική ερμηνεία (οριζόντια εφαπτομένη σε ένα τουλάχιστον σημείο της γραφικής παράστασης).
• Θέματα Γ–Δ: «η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα» — αν είχε δύο, το Rolle θα έδινε ρίζα της $f'$ που δεν υπάρχει. Και «να δείξετε ότι υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε…»: βρες βοηθητική $g$ με $g(\alpha) = g(\beta)$, της οποίας η παράγωγος είναι η παράσταση που θέλεις.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού