Θεώρημα Bolzano

Τι βλέπεις

Το θεώρημα έχει δύο προϋποθέσεις και ένα συμπέρασμα, και το σχήμα τα κρατά χωριστά. Το κίτρινο διάστημα είναι το $[\alpha, \beta]$· οι ενδείξεις πάνω από τη γραφική παράσταση λένε αν η $f$ είναι συνεχής εκεί και αν τα $f(\alpha)$, $f(\beta)$ είναι ετερόσημα. Όταν ισχύουν και οι δύο, ανάβει το συμπέρασμα και οι ρίζες εμφανίζονται ως πράσινα σημεία πάνω στον άξονα. Λέει «τουλάχιστον μία»: για την $f(x) = x^3 - 3x + 1$ σε αρκετά μεγάλο διάστημα θα βρεις τρεις.

Διάλεξε την ασυνεχή συνάρτηση και φαίνεται γιατί χρειάζεται η πρώτη προϋπόθεση: η $f$ «πηδά» από το $-1$ στο $1$ στο $x = 0$, οπότε αλλάζει πρόσημο χωρίς να μηδενίζεται πουθενά. Η «Διχοτόμηση» δείχνει το θεώρημα ως μέθοδο: κάθε βήμα κόβει το διάστημα στη μέση και κρατά το μισό όπου αλλάζει ακόμα το πρόσημο, οπότε μετά από $n$ βήματα η ρίζα είναι «παγιδευμένη» σε διάστημα πλάτους $\dfrac{\beta - \alpha}{2^n}$.

Δοκίμασε

1. 1Σύρε το $\beta$ πέρα από το $x \approx 1{,}53$. Τώρα τα $f(\alpha)$ και $f(\beta)$ είναι και τα δύο θετικά και το θεώρημα δεν εγγυάται τίποτα — κι όμως υπάρχουν ακόμα δύο ρίζες. Το αντίστροφο του Bolzano δεν ισχύει.
2. 2Βάλε $\alpha = -2{,}5$ και $\beta = 2{,}5$: τα πρόσημα διαφέρουν και εμφανίζονται τρεις ρίζες. Το «τουλάχιστον μία» σημαίνει πράγματι τουλάχιστον.
3. 3Πάτα «Διχοτόμηση» και μέτρα τα βήματα: μετά από 10 βήματα το διάστημα έχει περίπου το ένα χιλιοστό του αρχικού πλάτους.
4. 4Διάλεξε «Ασυνεχής»: οι τιμές στα άκρα είναι ετερόσημες, αλλά η γραφική παράσταση «πηδά» πάνω από τον άξονα στο $x = 0$ και ρίζα δεν υπάρχει καθόλου.

Συνηθισμένα λάθη

• Έλεγχος μόνο των προσήμων. Χωρίς συνέχεια σε όλο το κλειστό διάστημα το θεώρημα δεν λέει τίποτα: η $\dfrac{1}{x}$ στο $[-1, 1]$ αλλάζει πρόσημο και δεν έχει ρίζα.
• Το αντίστροφο. Ρίζα στο $(\alpha, \beta)$ δεν σημαίνει $f(\alpha)f(\beta) < 0$: η $f(x) = x^2$ στο $[-1, 1]$ έχει ρίζα, όμως $f(-1)f(1) = 1 > 0$.
• «Μοναδική ρίζα». Το θεώρημα δίνει μόνο ύπαρξη· για μοναδικότητα χρειάζεται κάτι ακόμα, συνήθως ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: μπορεί να ζητηθούν η διατύπωση και η γεωμετρική ερμηνεία, και συχνά ένα Σωστό–Λάθος για το αντίστροφο.
• Θέματα Β–Δ: είναι το βασικό εργαλείο για το «να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(\alpha, \beta)$». Γράψε ρητά τη συνέχεια στο κλειστό διάστημα και το $f(\alpha)f(\beta) < 0$· για «ακριβώς μία» πρόσθεσε τη μονοτονία.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §1.8 Συνέχεια συνάρτησης