Απόλυτη Τιμή

① Ορισμός

Η απόλυτη τιμή «βγάζει» το πρόσημο — δίνει πάντα μη αρνητικό αποτέλεσμα:

|α| = { α, αν α ≥ 0 −α, αν α < 0

|5| = 5

|−5| = 5

|0| = 0

② Γεωμετρική Ερμηνεία

|−3| = 3

|3| = 3

Γι' αυτό η απόσταση — άρα και η απόλυτη τιμή — δεν είναι ποτέ αρνητική.

③ Βασικές Ιδιότητες

|α| ≥ 0

|α| = |−α|

|α|² = α²

√(α²) = |α|

√((−4)²)

−|α| ≤ α ≤ |α| για κάθε πραγματικό α.

|α| = 0 ⟺ α = 0.

④ Απόλυτη Τιμή & Πράξεις

|α·β| = |α|·|β|

| α / β | = |α| / |β|

Τριγωνική ανισότητα

|α + β| ≤ |α| + |β|

Ισότητα ισχύει μόνο όταν τα α, β έχουν το ίδιο πρόσημο (ή κάποιο = 0).

⑤ Απόσταση Δύο Αριθμών

d(α, β) = |α − β| = |β − α|

α = 2

β = 7

|2 − 7| = 5

Πολύ χρήσιμο: η απόσταση δύο σημείων στον άξονα είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους.

★ Λυμένο παράδειγμα ✎

Να υπολογιστεί η παράσταση: |−3| + |2 − 5| − |4|

Υπολογίζουμε κάθε απόλυτη: |−3| = 3, |2 − 5| = |−3| = 3, |4| = 4

Αντικαθιστούμε: = 3 + 3 − 4 = 2

Λύσε πρώτα ό,τι είναι μέσα στις απόλυτες, βγάλε την απόλυτη, και μετά κάνε τις πράξεις.

Εξισώσεις & Ανισώσεις με Απόλυτα

Πώς λύνουμε εξισώσεις |x| = α και ανισώσεις |x| < α, |x| > α — με τη γεωμετρική τους εικόνα. ✎

≤α

① Εξίσωση |x| = α

Διαβάζεται «ο x απέχει α από το 0». Τρεις περιπτώσεις ως προς το α:

α > 0

x = α ή x = −α (δύο λύσεις)

α = 0

x = 0 (μία λύση)

α < 0

αδύνατη (καμία λύση)

Η απόλυτη τιμή δεν γίνεται ποτέ αρνητική — γι' αυτό με α < 0 δεν υπάρχει λύση.

② Εξίσωση |f(x)| = |g(x)|

Δύο παραστάσεις έχουν ίσες απόλυτες ⟺ είναι ίσες ή αντίθετες:

|f(x)| = |g(x)| ⟺ f(x) = g(x) ή f(x) = −g(x)

π.χ. |x − 1| = |2x + 3| → x − 1 = 2x + 3 ή x − 1 = −(2x + 3)

③ Ανίσωση |x| < α (α > 0)

«Απέχει λιγότερο από α» → ένα διάστημα γύρω από το 0:

|x| < α ⟺ −α < x < α

Ανοιχτά άκρα (κενοί κύκλοι) γιατί η ανισότητα είναι γνήσια. Με ≤ → κλειστά.

④ Ανίσωση |x| > α (α > 0)

«Απέχει περισσότερο από α» → δύο ξεχωριστές ημιευθείες:

|x| > α ⟺ x < −α ή x > α

Δύο χωριστά κομμάτια ενωμένα με «ή» — όχι ένα ενιαίο διάστημα.

Να λυθεί η ανίσωση: |2x − 1| ≤ 5

Μορφή |Α| ≤ α: −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5

+1 παντού: −4 ≤ 2x ≤ 6

: 2 παντού: −2 ≤ x ≤ 3

|Α| ≤ α → διπλή ανίσωση (ένα διάστημα)· |Α| ≥ α → «ή» (δύο κομμάτια). Μην τα μπερδεύεις!

για επανάληψη · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · κράτησέ το στο θρανίο σου ✦