OwlileoΌλο το υλικό

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Εξισώσεις 1ου Βαθμού

Η μορφή αx + β = 0, η μέθοδος επίλυσης βήμα-βήμα & οι εξισώσεις με κλάσματα. ✎

Η θεωρία με μια ματιά

① Τι είναι Πρωτοβάθμια

Εξίσωση όπου ο άγνωστος x έχει εκθέτη 1 — γράφεται στη μορφή:

α·x + β = 0, α ≠ 0

συντελεστής

Κάθε εξίσωση 1ου βαθμού φέρνεται σ' αυτή τη μορφή.

② Η Γενική Λύση

Απομονώνουμε τον x: μεταφέρουμε το β και διαιρούμε με α.

αx + β = 0

αx = −β

x = −β / α

ΠροσοχήΗ διαίρεση με α επιτρέπεται μόνο όταν α ≠ 0. Την περίπτωση α = 0 τη βλέπουμε στη Διερεύνηση.

③ Βήματα Επίλυσης

Απαλοιφή παρονομαστών — πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ.

Απαλοιφή παρενθέσεων — επιμεριστική ιδιότητα.

Χωρισμός όρων — αγνώστους αριστερά, γνωστούς δεξιά (αλλάζοντας πρόσημο).

Αναγωγή ομοίων όρων — φτάνουμε σε μορφή αx = β.

Διαίρεση με τον συντελεστή του x.

④ Εξισώσεις με Κλάσματα

Διώχνουμε τους παρονομαστές πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το ΕΚΠ:

x = 6

Το ΕΚΠ(2, 3) = 6: κάθε όρος πολλαπλασιάζεται, ώστε να φύγουν τα κλάσματα.

★ Λυμένο παράδειγμα ✎

Να λυθεί: 3(x − 2) = x + 4

Παρενθέσεις: 3x − 6 = x + 4

Χωρισμός όρων: 3x − x = 4 + 6

Αναγωγή: 2x = 10

Διαίρεση: x = 5

Έλεγχος: βάλε x = 5 και στα δύο μέλη: 3·3 = 9 και 5+4 = 9 ✓ — ίσα, άρα σωστό.

Διερεύνηση & Εφαρμογές

Πότε η αx = β έχει μία, καμία ή άπειρες λύσεις, η αρχή του μηδενικού γινομένου & λύση προβλημάτων. ✎

x=?

① Διερεύνηση της αx = β

Όταν ο συντελεστής α είναι παράμετρος, εξετάζουμε τρεις περιπτώσεις:

α ≠ 0

μία λύση: x = β / α

α=0, β≠0

αδύνατη (καμία λύση)

α=0, β=0

αόριστη (άπειρες — κάθε x)

Θυμήσου: 0·x = β. Αν β≠0 αδύνατη (τίποτα ×0 δεν δίνει β)· αν β=0 ισχύει για κάθε x.

② Αρχή Μηδενικού Γινομένου

Ένα γινόμενο μηδενίζεται ⟺ μηδενίζεται τουλάχιστον ένας παράγοντας:

α · β = 0 ⟺ α = 0 ή β = 0

π.χ. (x − 2)(x + 5) = 0 → x − 2 = 0 ή x + 5 = 0 → x = 2 ή x = −5

③ Λύση Προβλήματος

Ορίζω άγνωστο: «έστω x = …».

Μεταφράζω τα δεδομένα σε εξίσωση.

Λύνω την εξίσωση.

Ελέγχω αν η λύση ταιριάζει στο πρόβλημα.

Να διερευνηθεί η εξίσωση ως προς λ: (λ − 2)x = λ − 2

Αν λ ≠ 2

Στις παραμετρικές, μηδένισε πρώτα τον συντελεστή του x — αυτό σου δίνει τις «κρίσιμες» τιμές της παραμέτρου.

για επανάληψη · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · κράτησέ το στο θρανίο σου ✦

Κατέβασε το cheatsheet σε PDF

Μία σελίδα, δωρεάν — μαζί με άλλα εννέα.

↓ PDF

Ασκήσεις με λύση

Τρεις ερωτήσεις από την τράπεζα, με πλήρη λύση.

1Easier
Να λύσετε την εξίσωση 3(x−2)+5=2x+43(x - 2) + 5 = 2x + 4.
›Δες τη λύση
**Λύση**
[M] Απαλοιφή παρενθέσεων: 3x−6+5=2x+4⇒3x−1=2x+43x - 6 + 5 = 2x + 4 \Rightarrow 3x - 1 = 2x + 4.
[M] Χωρίζουμε γνωστούς–αγνώστους: 3x−2x=4+13x - 2x = 4 + 1.
[A] x=5x = 5. Επαλήθευση: 3⋅3+5=14=10+43 \cdot 3 + 5 = 14 = 10 + 4 ✓.
**Απάντηση:** x=5x = 5
2Medium
Να λύσετε την εξίσωση 3x−1=2x+1\dfrac{3}{x - 1} = \dfrac{2}{x + 1}.
›Δες τη λύση
**Λύση**
[M] Περιορισμοί: x≠1x \ne 1 και x≠−1x \ne -1.
[M] Χιαστί: 3(x+1)=2(x−1)3(x + 1) = 2(x - 1).
[M] 3x+3=2x−2⇒x=−53x + 3 = 2x - 2 \Rightarrow x = -5 (δεκτή, δεν παραβιάζει τους περιορισμούς).
[A] x=−5x = -5. Επαλήθευση: 3−6=−12=2−4\dfrac{3}{-6} = -\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{-4} ✓.
**Απάντηση:** x=−5x = -5
3Harder
Δίνεται η εξίσωση λ(λx−1)=9x−3\lambda(\lambda x - 1) = 9x - 3, λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Να βρείτε τις τιμές του λ\lambda για τις οποίες η εξίσωση είναι: (i) αδύνατη, (ii) ταυτότητα.
›Δες τη λύση
**Λύση**
[M] Αναπτύσσουμε: λ2x−λ=9x−3⇒(λ2−9)x=λ−3\lambda^2 x - \lambda = 9x - 3 \Rightarrow (\lambda^2 - 9)x = \lambda - 3.
[M] Παραγοντοποίηση: (λ−3)(λ+3)x=λ−3(\lambda - 3)(\lambda + 3)x = \lambda - 3.
[M] Ο συντελεστής του xx μηδενίζεται για λ=±3\lambda = \pm 3 — εκεί η εξίσωση δεν είναι 1ου βαθμού.
[M] Για λ=3\lambda = 3: 0⋅x=00 \cdot x = 0 — ταυτότητα (άπειρες λύσεις).
[M] Για λ=−3\lambda = -3: 0⋅x=−60 \cdot x = -6 — αδύνατη.
[A] (i) Αδύνατη για λ=−3\lambda = -3· (ii) ταυτότητα για λ=3\lambda = 3· για λ≠±3\lambda \ne \pm 3 έχει μοναδική λύση x=1λ+3x = \dfrac{1}{\lambda + 3}.
**Απάντηση:** (i) λ=−3\lambda = -3· (ii) λ=3\lambda = 3

Είστε καθηγητής;

Βάλτε αυτό το κεφάλαιο ως διαγώνισμα που διορθώνεται μόνο του, και δείτε ποιος το κατάλαβε.

Ξεκινήστε δωρεάν →