OwlileoΌλο το υλικό

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Η Έννοια της Συνάρτησης

Τι είναι συνάρτηση, διάγραμμα βελών, γράφημα, κατακόρυφη δοκιμή & πεδίο ορισμού. ✎

Η θεωρία με μια ματιά

① Τι είναι Συνάρτηση

ακριβώς ένα

y = f(x)

f(2) = γ

Σύνολο τιμών = f(A) ⊆ B · εικόνες μόνο β,γ,δ.

② Συνάρτηση ή Όχι;

✓ Συνάρτηση

κάθε x έχει ακριβώς ΜΙΑ εικόνα

ΠροσοχήΌχι Συνάρτηση

ένα x έχει δύο εικόνες (παραβίαση ορισμού)

③ Κατακόρυφη Δοκιμή

Ένα γράφημα παριστά συνάρτηση ⟺ κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει το γράφημα το πολύ σε ΜΙΑ σημείο:

④ Πεδίο Ορισμού — Κανόνες

Βρίσκουμε τις τιμές του x για τις οποίες η παράσταση ορίζεται:

√‾

Ρίζα (άρτιος δείκτης):

≥ 0

√ A → A ≥ 0

Παρονομαστής:

≠ 0

1/A → A ≠ 0

Λογάριθμος:

> 0

log(A) → A > 0

Παράδειγμα: f(x) = √ x+3 / x − 2

Ρίζα: x+3 ≥ 0 → x ≥ −3 · Παρονομαστής: x−2 ≠ 0 → x ≠ 2

Α(f) = [−3, 2) ∪ (2, +∞)

★ Λυμένο παράδειγμα ✎

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της: f(x) = 1 / √(4 − x²)

Παρονομαστής ≠ 0 & Ρίζα ≥ 0: χρειαζόμαστε √(4−x²) > 0, δηλαδή 4−x² > 0.

4 − x² > 0 → x² < 4 → −2 < x < 2

Α(f) = (−2, 2) — ανοιχτό διάστημα (αυστηρά > 0 εξαλείφει τα ±2).

Αν υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή: βάζε αυστηρή ανισότητα (>0) γιατί ο παρονομαστής ΔΕΝ μπορεί να είναι 0.

Ιδιότητες & Σύνθεση

Μονοτονία, ένα-προς-ένα, αμφιμονοσήμαντη, αντίστροφη & σύνθεση συνάρτησης. ✎

① Ένα-προς-Ένα, Επί & Αμφιμονοσήμαντη

1-1 (Ενα-προς-Ένα)

διαφ. στοιχεία → διαφ. εικόνες

Επί (Surjective)

κάθε στοιχείο Β κτυπάται

Αμφιμονοσήμαντη

1-1 ΚΑΙ Επί ← τέλεια αντιστοιχία

ΠροσοχήΜόνο η αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση έχει αντίστροφη!

② Μονοτονία

Αύξουσα σε I

x₁<x₂ → f(x₁)<f(x₂)

Φθίνουσα σε I

x₁<x₂ → f(x₁)>f(x₂)

Αύξουσα & φθίνουσα συναρτήσεις είναι 1-1 (δεν υπάρχουν x₁≠x₂ με ίδια εικόνα).

③ Αντίστροφη Συνάρτηση f⁻¹

Υπάρχει μόνο αν f αμφιμονοσήμαντη. Ορίζεται: f⁻¹(y) = x ⟺ f(x) = y.

f⁻¹(f(x)) = x

f(f⁻¹(y)) = y

y=x

Τα γραφήματα f & f⁻¹ είναι συμμετρικά ως προς την y = x.

Πεδίο ορισμού f⁻¹ = Σύνολο τιμών f · Σύνολο τιμών f⁻¹ = Πεδίο ορισμού f.

④ Σύνθεση Συνάρτησης g∘f

(g∘f)(x) = g(f(x))

Γενικά g∘f ≠ f∘g — δεν είναι αντιμεταθετική!

Πεδίο g∘f: {x ∈ Α(f): f(x) ∈ Α(g)}.

Δίνονται f(x) = 2x+1 και g(x) = x². Να βρεθούν (g∘f)(x) και (f∘g)(x).

(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x²+4x+1

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x²+1 = 2x²+1

4x²+4x+1 ≠ 2x²+1 → άρα g∘f ≠ f∘g ✓ (δεν είναι αντιμεταθετική)

Διάβαζε g∘f από δεξιά προς αριστερά: πρώτα f, μετά g. Αντικατέστησε αργά — πρώτα βρες f(x), μετά το «βάλε» στη g.

για επανάληψη · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · κράτησέ το στο θρανίο σου ✦

Ασκήσεις με λύση

Τρεις ερωτήσεις από την τράπεζα, με πλήρη λύση.

1Easier
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x2−3x+1f(x) = 2x^2 - 3x + 1.
›Δες τη λύση
**Μέρος (α)**
_Να υπολογίσετε τα f(0)f(0), f(2)f(2) και f(−1)f(-1)._
[M] f(0)=0−0+1=1f(0) = 0 - 0 + 1 = 1.
[M] f(2)=8−6+1=3f(2) = 8 - 6 + 1 = 3.
[A] f(−1)=2+3+1=6f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6.
**Απάντηση:** f(0)=1f(0)=1, f(2)=3f(2)=3, f(−1)=6f(-1)=6
**Μέρος (β)**
_Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1f(x) = 1._
[M] 2x2−3x+1=1⇒2x2−3x=0⇒x(2x−3)=02x^2 - 3x + 1 = 1 \Rightarrow 2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(2x - 3) = 0.
[A] x=0x = 0 ή x=32x = \dfrac{3}{2}.
**Απάντηση:** x=0x = 0 ή x=32x = \dfrac{3}{2}
2Medium
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=x+2x−1f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}.
›Δες τη λύση
**Λύση**
[M] Απαίτηση 1: x+2≥0⇒x≥−2x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2.
[M] Απαίτηση 2: x−1≠0⇒x≠1x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1.
[M] Συναλήθευση των δύο.
[A] Af=[−2,1)∪(1,+∞)A_f = [-2, 1) \cup (1, +\infty).
**Απάντηση:** [−2,1)∪(1,+∞)[-2, 1) \cup (1, +\infty)
3Harder
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=x+1+4−x+1xf(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x} + \dfrac{1}{x}.
›Δες τη λύση
**Λύση**
[M] x+1≥0⇒x≥−1x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1.
[M] 4−x≥0⇒x≤44 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4.
[M] x≠0x \ne 0 (παρονομαστής).
[M] Συναλήθευση: [−1,4][-1, 4] χωρίς το 0.
[A] Af=[−1,0)∪(0,4]A_f = [-1, 0) \cup (0, 4].
**Απάντηση:** [−1,0)∪(0,4][-1, 0) \cup (0, 4]

Είστε καθηγητής;

Βάλτε αυτό το κεφάλαιο ως διαγώνισμα που διορθώνεται μόνο του, και δείτε ποιος το κατάλαβε.

Ξεκινήστε δωρεάν →