Εξισώσεις 2ου Βαθμού

① Τι είναι Δευτεροβάθμια

Εξίσωση όπου ο άγνωστος x έχει μέγιστο εκθέτη 2:

α·x² + β·x + γ = 0, α ≠ 0

Αν α = 0 «πέφτει» σε πρωτοβάθμια — γι' αυτό απαιτούμε α ≠ 0.

② Η Διακρίνουσα Δ

Δ = β² − 4αγ

Το πρόσημό της κρίνει το πλήθος των πραγματικών ριζών — δηλαδή πόσες φορές «κόβει» η παραβολή τον άξονα x:

δύο ρίζες x₁ ≠ x₂

Δ = 0

μία διπλή x₁ = x₂

καμία πραγματική

③ Ο Τύπος των Ριζών

Όταν Δ ≥ 0, οι ρίζες δίνονται από:

x 1,2 = −β ± √Δ / 2α

Με + παίρνεις τη μία ρίζα, με − την άλλη.

Αν Δ = 0: x = −β / 2α (διπλή ρίζα).

★ Λυμένο παράδειγμα ✎

Να λυθεί: x² − 5x + 6 = 0

Συντελεστές: α = 1, β = −5, γ = 6

Διακρίνουσα: Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 > 0

x₁ = 3, x₂ = 2

Υπολόγισε πρώτα τη Δ: σου λέει αμέσως αν υπάρχουν ρίζες, πριν μπεις στον τύπο.

Τύποι Vieta & Παραγοντοποίηση

Άθροισμα & γινόμενο ριζών, παραγοντοποίηση τριωνύμου & ειδικές μορφές εξισώσεων. ✎

① Τύποι Vieta

Συνδέουν τις ρίζες x₁, x₂ απευθείας με τους συντελεστές — χωρίς να λύσεις:

S = x₁ + x₂ = −β / α

Χρήσιμο για έλεγχο ριζών ή για να βρεις εξίσωση με δοσμένες ρίζες: x² − Sx + P = 0.

② Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

Αν x₁, x₂ είναι οι ρίζες (Δ ≥ 0), το τριώνυμο γράφεται:

αx² + βx + γ = α(x − x₁)(x − x₂)

π.χ. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) [ρίζες 2 και 3]

③ Ειδικές (Ατελείς) Μορφές

Λείπει το γ (αx² + βx = 0)

x(αx + β) = 0 → x = 0 ή x = − β / α

Λείπει το β (αx² + γ = 0)

x² = − γ / α (λύση μόνο αν −γ/α ≥ 0)

Διτετράγωνη αx⁴ + βx² + γ = 0: θέσε y = x² → λύσε ως 2ου βαθμού ως προς y, μετά x = ±√y.

Χωρίς να λύσεις, βρες S και P για: 2x² − 7x + 3 = 0

Συντελεστές: α = 2, β = −7, γ = 3

Πρόσεξε το πρόσημο στο S: είναι −β/α, όχι β/α. Το γινόμενο P όμως είναι γ/α (χωρίς μείον).

για επανάληψη · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · κράτησέ το στο θρανίο σου ✦