Αριθμητική Πρόοδος

① Ορισμός

κοινή διαφορά ω

ω = α ν+1 − α ν = σταθερό

ω = 0

② Γενικός Όρος ✦ τύπος

α ν = α₁ + (ν − 1) · ω

Από τον ν-οστό προς τον μ-οστό: α ν = α μ + (ν − μ) · ω

Ο γενικός όρος είναι γραμμική συνάρτηση του ν.

π.χ. 3, 7, 11, 15, … → α₁ = 3, ω = 4: α ν = 3 + (ν−1)·4 = 4ν − 1

③ Ιδιότητα Μέσου Όρου

Κάθε όρος (εκτός ακραίων) ισούται με τον μέσο αριθμητικό των διπλανών του:

α ν = α ν−1 + α ν+1 / 2

④ Αριθμητική Μέση & Μέσοι

Αριθμητική μέση δύο αριθμών α, β:

Μ = α + β / 2

Εισαγωγή n μέσων μεταξύ α και β:

Σχηματίζεται αριθμητική πρόδος n+2 όρων (α₁=α, α n+2 =β) με:

ω = β − α / n + 1

★ Λυμένο παράδειγμα ✎

Αριθμητική πρόδος με α₁ = 4 και ω = 5.

Βρες τον α₁₀: α₁₀ = 4 + 9·5 = 49

Είναι ο 100 όρος της; αν = 100 → 4+(ν−1)·5=100 → ν−1=19.2 → Όχι

Για να δεις αν ο x είναι όρος: λύσε ω.ρ.τ ν — αν ν φυσικός, ναι· αν αρνητικός ή κλάσμα, όχι.

Άθροισμα & Εφαρμογές

Τύποι αθροίσματος Sν, σχέση Sν με αν & εφαρμογές σε προβλήματα. ✎

① Άθροισμα Sν ✦ τύπος

Δύο ισοδύναμοι τύποι για το άθροισμα των ν πρώτων όρων:

— όταν γνωρίζεις τον πρώτο & τελευταίο όρο —

— όταν γνωρίζεις α₁ και ω —

α₁+αν

α₂+αν₋₁

ν/2 · (α₁+αν)

② Σχέση αν με Sν

Κάθε όρος βρίσκεται από τη διαφορά διαδοχικών αθροισμάτων:

(ν ≥ 2)

α 1 = S 1

Χρησιμοποιείται όταν δίνεται ο τύπος του Sν και ζητείται ο γενικός όρος ή το ω.

③ Χρήσιμα Αθροίσματα

Ειδικές προόδοι με γνωστά αθροίσματα:

1 + 2 + 3 + … + ν = ν(ν+1) / 2

1 + 3 + 5 + … + (2ν−1) = ν²

2 + 4 + 6 + … + 2ν = ν(ν+1)

Αριθμητική πρόδος: α₁ = 3, ω = 4. Να βρεθεί S₁₅.

Τελευταίος όρος: α₁₅ = 3 + 14·4 = 59

Αν σου είναι πιο εύκολο: χρησιμοποίησε κατευθείαν τον τύπο S = ν/2·[2α₁+(ν−1)ω] χωρίς να βρεις αν πρώτα.

για επανάληψη · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · κράτησέ το στο θρανίο σου ✦