Γεωμετρική Πρόοδος

① Ορισμός

Ακολουθία όπου κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο επί έναν σταθερό αριθμό — τον κοινό λόγο q:

q = α ν+1 / α ν = σταθερό (q ≠ 0)

② Γενικός Όρος ✦ τύπος

α ν = α₁ · q ν−1

Ο γενικός όρος είναι εκθετική συνάρτηση του ν.

π.χ. 2, 6, 18, 54, … → α₁=2, q=3: α ν = 2·3 ν−1

③ Ιδιότητα Μέσου Γεωμετρικού

β² = α · γ ⟺ β = √(α · γ)

Στη γεωμετρική πρόδο αυτό γράφεται: α ν ² = α ν−1 · α ν+1 για κάθε εσωτερικό όρο.

★ Λυμένο παράδειγμα ✎

Γεωμετρική πρόδος: α₁ = 5, q = 2.

Βρες α₆: α₆ = 5 · 2⁵ = 5 · 32 = 160

Είναι ο 320 όρος της;

Για να βρεις τον αν, εκφράσε το αποτέλεσμα ως δύναμη του q — τότε βλέπεις αμέσως τον εκθέτη ν−1.

Άθροισμα & Σύγκλιση

Τύπος αθροίσματος Sν, άθροισμα άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής & σύγκριση με αριθμητική. ✎

① Άθροισμα Sν ✦ τύπος

Άθροισμα πρώτων ν όρων — αν q ≠ 1:

S ν = α₁ (q ν − 1) / q − 1

ισοδύναμα: S ν = α₁ (1 − q ν ) / 1 − q (βολικό για q < 1)

Αν q = 1: S ν = ν · α₁ (σταθερή πρόδος, απλό άθροισμα).

② Άθροισμα Άπειρης Γεωμετρικής S∞ ✦ τύπος

S ∞ = α₁ / 1 − q

μόνο αν |q| < 1

Όταν |q|<1 οι όροι συρρικνώνονται — το άθροισμα συγκλίνει σε πεπερασμένη τιμή. Οπτικά:

½ + ¼ + ⅛ + …

1−½

③ ΑΠ vs ΓΠ — Σύγκριση

Αριθμητική

Γεωμετρική

Κοινή διαφορά ω

Κοινός λόγος q

α ν+1 −α ν = ω

α ν+1 /α ν = q

α ν = α₁+(ν−1)ω

α ν = α₁·q ν−1

Γραμμική αύξηση

Εκθετική αύξηση

Αρ. μέση: (α+β)/2

Γεωμετρική πρόδος: α₁ = 12, q = ⅓. Να βρεθεί το S∞.

Έλεγχος: |q| = ⅓ < 1 ✓ — συγκλίνει.

Πάντα έλεγχε πρώτα αν |q|<1 — αν όχι, το S∞ δεν υπάρχει και η πρόδος αποκλίνει.

για επανάληψη · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · κράτησέ το στο θρανίο σου ✦