Κριτήριο Παρεμβολής

Τι βλέπεις

Η $f(x) = x^2\,\eta\mu\dfrac{1}{x}$ ταλαντώνεται άπειρες φορές κοντά στο $0$, οπότε κανένας πίνακας τιμών δεν «κλείνει» το όριό της. Όμως $\left|\eta\mu\dfrac{1}{x}\right| \le 1$, άρα $-x^2 \le x^2\,\eta\mu\dfrac{1}{x} \le x^2$, και τα δύο φράγματα τείνουν στο $0$. Οι πράσινες καμπύλες είναι αυτά τα φράγματα· η ανάλυση δείχνει τα $h(x)$, $f(x)$, $g(x)$ στο τρέχον σημείο, πάντα με αυτή τη σειρά.

Η τρίτη συνάρτηση είναι η γνωστή: για $0 < |x| < \dfrac{\pi}{2}$ ισχύει $\sigma\upsilon\nu x \le \dfrac{\eta\mu x}{x} \le 1$, και τα δύο φράγματα τείνουν στο $1$, άρα $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\eta\mu x}{x} = 1$. Το ζουμ δεν αλλάζει το επιχείρημα· δείχνει γιατί δουλεύει: όσο πιο κοντά κοιτάς, τόσο λιγότερο χώρο έχει η $f$.

Δοκίμασε

1. 1Πάτα «Ζουμ» και δες το παράθυρο να στενεύει γύρω από το $0$: η $f$ μένει ανάμεσα στις πράσινες καμπύλες σε κάθε κλίμακα.
2. 2Πήγαινε στην $x\,\eta\mu\dfrac{1}{x}$: τα φράγματα είναι τώρα $\pm|x|$, ευθείες αντί για παραβολές — η παρεμβολή δουλεύει ακόμα.
3. 3Πήγαινε στην $\dfrac{\eta\mu x}{x}$: δεν ορίζεται στο $0$, όμως τα φράγματα $\sigma\upsilon\nu x$ και $1$ επιβάλλουν όριο $1$.
4. 4Κρύψε τους τύπους και απάντησε πρώτα στην πρόβλεψη: έχει καν όριο η $f$ στο $0$;

Συνηθισμένα λάθη

• Φράγματα με διαφορετικά όρια. Το $-1 \le \eta\mu\dfrac{1}{x} \le 1$ είναι σωστό αλλά δεν αποδεικνύει τίποτα: τα φράγματα τείνουν σε $-1$ και $1$, και η $\eta\mu\dfrac{1}{x}$ δεν έχει όριο στο $0$.
• Το λάθος $\lim x^2\,\eta\mu\dfrac{1}{x} = \lim x^2 \cdot \lim \eta\mu\dfrac{1}{x}$: ο κανόνας του γινομένου θέλει να υπάρχουν και τα δύο όρια, και το δεύτερο δεν υπάρχει.

Στις Πανελλαδικές

• Θέμα Α: η διατύπωση του κριτηρίου· συχνό Σωστό–Λάθος με φράγματα που έχουν διαφορετικά όρια.
• Θέματα Β–Γ: για όρια όπου ένα $\eta\mu$ ή $\sigma\upsilon\nu$ πολλαπλασιάζεται με κάτι που τείνει στο $0$ — φράξε με $|\eta\mu u| \le 1$ και πολλαπλασίασε.

Πού διδάσκεται

• Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού · §1.5 Ιδιότητες των ορίων